The Klein-Gordon Field (2) - ただの物理屋

2.2. Elements of Classical Field Theory

この節では，後の場の量子論の議論で必要となる古典場の理論を学ぶ．

■ Lagrangian Field Theory

古典力学の基本的な量は作用 $S$ で，それは Lagrangian $L$ の時間積分である．局所場の理論では，ラグランジアンは $\mathcal{L}$ で書かれるラグランジアン密度の空間積分で記述され，場 $\phi$ とその微分 ${\partial}_{\mu}\phi$ の関数である．つまり，

$\displaystyle{ S = \int L\ dt = \int\mathcal{L}(\phi,\ {\partial}_{\mu}\phi)\ d^4x \tag{2.1}}$

最小作用の原理とは，ある系が時間 $t_1$ から $t_2$ の間に時間発展するとき，作用 $S$ が極値（普通は最小値）となるような経路に沿うということだ．我々はこれを次のように書く．

$\begin{align} 0 &= \delta S \\\ &= \int d^4x \ \left\{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\delta\phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial({\partial}_{\mu}\phi)}\delta({\partial}_{\mu}\phi)\right\} \\\ &= \int d^4x \ \left\{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\delta\phi - {\partial}_{\mu}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial({\partial}_{\mu}\phi)}\right)\delta\phi + {\partial}_{\mu}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial({\partial}_{\mu}\phi)}\delta\phi\right)\right\} \tag{2.2} \end{align}$

最後の項はガウスの定理から表面積分へと変形され，積分領域の境界で $\delta\phi = 0$ とすると，この項はゼロとなる．したがって，任意の $\delta\phi$ に対して上式が成り立つ条件から，場に対する Euler-Lagrange 方程式が導かれる．

$\displaystyle{ {\partial}_{\mu}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial({\partial}_{\mu}\phi})\right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = 0 \tag{2.3}}$

■ Hamiltonian Field Theory

ラグランジアン形式の場の理論は，明らかにローレンツ不変な式で記述されるので相対論的運動に適している．しかし，ここでは量子力学との対応が容易いハミルトニアン形式を学ぶ．

離散的な系では力学変数 $q$ に対して，共役運動量 $p \equiv {\partial}L / {\partial}{\dot{q}}$ (ここで， $\dot{q} = {\partial}q / {\partial}t$ ) を定義でき，ハミルトニアンは $H \equiv {\Sigma}\ p{\dot{q}} - L$ であった．

さて，

$\begin{aligned} p(\boldsymbol{x}) \equiv \frac{\partial L}{\partial\dot{\phi}(\boldsymbol{x})} &= \frac{\partial}{\partial\dot{\phi}(\boldsymbol{x})}\int \mathcal{L}(\phi(\boldsymbol{y}),\ \dot{\phi}(\boldsymbol{y})) \ d^3y \\\ &\sim \frac{\partial}{\partial\dot{\phi}(\boldsymbol{x})}\sum_{\boldsymbol{y}}\mathcal{L}(\phi(\boldsymbol{y}),\ \dot{\phi}(\boldsymbol{y})) \ d^3y \\\ &= \pi(\boldsymbol{x})d^3x \end{aligned}$

ここで，

$\displaystyle{ \pi(\boldsymbol{x}) \equiv \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}(\boldsymbol{x})} \tag{2.4}}$

は， $\phi(\boldsymbol{x})$ に共役な運動量密度と呼ばれる．こうして，ハミルトニアンは次のように書ける．

$\displaystyle{ H = \sum_{\boldsymbol{x}} p(\boldsymbol{x})\dot{\phi}(\boldsymbol{x}) - L}$

また，系が連続的なときは次のようになる．

$\displaystyle{ H = \int d^3x \ \left[\pi(\boldsymbol{x})\dot{\phi}(\boldsymbol{x}) - \mathcal{L}\right] \equiv \int d^3x \ \mathcal{H} \tag{2.5}}$

単純な例として，以下のラグランジアンを考える．

$\begin{align} \mathcal{L} &= \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}\left(\nabla\phi\right)^2 - \frac{1}{2}m^2{\phi}^2 \\\ &= \frac{1}{2}\left({\partial}_{\mu}\phi\right)^2 - \frac{1}{2}m^2{\phi}^2 \tag{2.6} \end{align}$

ここでは $\phi$ として実数値の場を考える．このラグランジアンに対する運動方程式は，ふつうに計算すれば求まる．

$\displaystyle{ \left({\partial}_{\mu}\phi\right)^2 = {\partial}_{\mu}\phi \cdot {\partial}^{\mu}\phi}$

を用いれば，

$\begin{aligned} {\partial}_{\mu}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial({\partial}_{\mu}\phi})\right) &= {\partial}_{0}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial({\partial}_{0}\phi})\right) + {\partial}_{1}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial({\partial}_{1}\phi})\right) + {\partial}_{2}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial({\partial}_{2}\phi})\right) + {\partial}_{3}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial({\partial}_{3}\phi})\right) \\\ &= {\partial}^0{\partial}_0\phi + {\partial}^1{\partial}_1\phi + {\partial}^2{\partial}_2\phi + {\partial}^3{\partial}_3\phi \\\ &= {\partial}^{\mu}{\partial}_{\mu}\phi \end{aligned}$

また，

$\displaystyle{ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = -m^2\phi}$

これらを場に関する Euler-Lagrange 方程式に代入すると，

$\displaystyle{ \left(\frac{{\partial}^2}{\partial t^2} - {\nabla}^2 + m^2\right) = 0 \hspace{1cm} or \hspace{1cm} \left({\partial}^{\mu}{\partial}_{\mu} + m^2\right)\phi = 0 \tag{2.7}}$

を得る．これはよく知られた Klein-Gordon 方程式である．また， $\phi(x)$ に共役な運動量密度は $\pi(x) = \dot{\phi}(x)$ であることに注意すれば，ハミルトニアンは，

$\begin{align} H = \int d^3x \ \mathcal{H} &= \int d^3x \ \left[\dot{\phi}(x)\cdot\dot{\phi}(x) - \left\{\frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}\left(\nabla\phi\right)^2 - \frac{1}{2}m^2{\phi}^2\right\}\right] \\\ &= \int d^3x \ \left[\frac{1}{2}{\pi}^2 + \frac{1}{2}\left(\nabla\phi\right)^2 + \frac{1}{2}m^2{\phi}^2\right] \tag{2.8} \end{align}$

となる．3つの項はそれぞれ，時間内の移動のエネルギーコスト，空間内の剪断のエネルギーコスト，場を周囲に持つエネルギーコストとして考えることができる．