ただの物理屋

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The Klein-Gordon Field (4)

2.3 The Klein-Gordon Field as Harmonic Oscillators

今回から 2.3 節に入る.

まずは最も単純な Klein-Gordon 場から議論を始める.これまでに学んできた Klein-Gordon 場の古典理論を量子化するために, \phi \pi演算子に昇格させ,適切な交換関係を課す.離散的な系の場合,交換関係は

\displaystyle{
[q_{i}, p_{j}] = i\delta_{ij} \ ;}
\displaystyle{
[q_{i}, q_{j}] = [p_{i}, p_{j}] = 0}


であった.連続的な系への一般化は,クロネッカーデルタの代わりにディラックデルタ関数を使えばよい.

\displaystyle{
[\phi(\boldsymbol{x}), \pi(\boldsymbol{y})] = i\delta^{(3)}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y});}
\displaystyle{
[\phi(\boldsymbol{x}), \phi(\boldsymbol{y})] = [\pi(\boldsymbol{x}), \pi(\boldsymbol{y})] = 0 \tag{2.20}}


ここでは,\phi \pi が時間に依存しない Schrödinger 表示を採用する.

\phi \pi の関数であるハミルトニアン演算子になる.つぎにすべきことは,ハミルトニアンのスペクトルを見つけることである.場を Fourier 展開して,


\begin{aligned}
\phi(\boldsymbol{x}, t) = \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\ e^{i\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}}\phi(\boldsymbol{p},t)
\end{aligned}


( \phi^{*}(\boldsymbol{p}) = \phi(-\boldsymbol{p}) であり, \phi(\boldsymbol{x}) が実数となるように)すれば,Klein-Gordon 方程式 (2.7) は以下のようになる.


\begin{align}
\left[\frac{{\partial}^2}{\partial t^2} + (|\boldsymbol{p}|^2 + m^2)\right]\phi(\boldsymbol{p},t) = 0 \tag{2.21}
\end{align}


これは振動数が


\begin{align}
\omega_{\boldsymbol{p}} = \sqrt{|\boldsymbol{p}|^2+m^2} \tag{2.22}
\end{align}


の単純な調和振動子運動方程式と同じである.

単純な調和振動子は,我々がすでに見つけ方を知っているスペクトルを持つ系である.以下では簡単にそれを復習する.ハミルトニアンを次のように書く.

\displaystyle{
H_{SHO} = \frac{1}{2}p^2 + \frac{1}{2}{\omega}^2{\phi}^2}


 H_{SHO}固有値を見つけるために, \phi p を昇降演算子で書く.


\begin{align}
\phi = \frac{1}{\sqrt{2\omega}}(a+a^{\dagger}); \hspace{0.7cm} p = -i\sqrt{\frac{\omega}{2}}(a-a^{\dagger}) \tag{2.23}
\end{align}


正準交換関係  [\phi,p] = i は,


\begin{align}
\left[a,a^{\dagger}\right] = 1 \tag{2.24}
\end{align}


と同等である.今,ハミルトニアンは,

\displaystyle{
H_{SHO} = \omega\left(a^{\dagger}a+\frac{1}{2}\right)}


と書ける. a|0\rangle = |0\rangle のような状態  |0\rangle は,零点エネルギーである  \frac{1}{2}\omega固有値として持つ  H の固有状態である.さらに,交換子


\begin{aligned}
\left[H_{SHO} , a^{\dagger} \right] = {\omega}a^{\dagger}, \hspace{0.7cm} \left[H_{SHO} , a \right] = -{\omega}a
\end{aligned}


によって,状態

\displaystyle{
|n\rangle \equiv (a^{\dagger})^{n} |0\rangle
}


は、固有値  \left(n+\frac{1}{2}\right)\omega H_{SHO} の固有状態であることを簡単に確認できる.これらの状態はスペクトルを取り尽くす.

我々は,同じやり方で Klein-Gordon ハミルトニアンのスペクトルを見つけることができるが,今,場の各フーリエモードは独自の  a a^{\dagger} を持つ独立した振動子として扱われる.(2.23) からの類推で,

\displaystyle{
\phi(\boldsymbol{x}) = \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2{\omega}_{\boldsymbol{p}}}}\left(a_{\boldsymbol{p}}e^{i\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}}+a_{\boldsymbol{p}}^{\dagger}e^{-i \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}}\right); \tag{2.25}
}


\displaystyle{
\pi(\boldsymbol{x}) = \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}(-i)\sqrt{\frac{{\omega}_{\boldsymbol{p}}}{2}}\left(a_{\boldsymbol{p}}e^{i\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}}-a_{\boldsymbol{p}}^{\dagger}e^{-i \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}}\right)\tag{2.26}
}


のように書ける.これ以降の計算では,(2.25),(2.26) の第二項において, \boldsymbol{p} \rightarrow -\boldsymbol{p} の変換を行って得られる次の式が便利である.

\displaystyle{
\phi(\boldsymbol{x}) = \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2{\omega}_{\boldsymbol{p}}}}\left(a_{\boldsymbol{p}}+a_{\boldsymbol{-p}}^{\dagger}\right)e^{i\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}}; \tag{2.27}
}


\displaystyle{
\pi(\boldsymbol{x}) = \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}(-i)\sqrt{\frac{{\omega}_{\boldsymbol{p}}}{2}}\left(a_{\boldsymbol{p}}-a_{-\boldsymbol{p}}^{\dagger}\right)e^{i\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}}\tag{2.28}
}


交換関係 (2.24) は,

\displaystyle{
[a_{\boldsymbol{p}}, a_{\boldsymbol{p'}}^{\dagger}] = (2\pi)^{3}\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{p'}) \tag{2.29}
}


となり, \phi \pi の交換子が,以下で示すように正しく計算されることが確認できる.

\displaystyle{
[a_{\boldsymbol{p}}, a_{\boldsymbol{p}'}] = 0,\ [a_{\boldsymbol{p}}^{\dagger}, a_{\boldsymbol{p}'}^{\dagger}] = 0}


なので,


\begin{aligned}
& \left(a_{\boldsymbol{p}}+a_{\boldsymbol{-p}}^{\dagger}\right)\left(a_{\boldsymbol{p'}}-a_{\boldsymbol{-p'}}^{\dagger}\right) - \left(a_{\boldsymbol{p'}}-a_{\boldsymbol{-p'}}^{\dagger}\right)\left(a_{\boldsymbol{p}}+a_{\boldsymbol{-p}}^{\dagger}\right) \\
&= \left(a_{\boldsymbol{p}}a_{\boldsymbol{p}'} - a_{\boldsymbol{p}}a_{\boldsymbol{-p'}}^{\dagger} + a_{\boldsymbol{-p}}^{\dagger}a_{\boldsymbol{p'}} - a_{\boldsymbol{-p}}^{\dagger}a_{\boldsymbol{-p'}}^{\dagger}\right) - \left(a_{\boldsymbol{p}'}a_{\boldsymbol{p}} + a_{\boldsymbol{p}'}a_{\boldsymbol{-p}}^{\dagger} - a_{\boldsymbol{-p'}}^{\dagger}a_{\boldsymbol{p}} - a_{\boldsymbol{-p'}}^{\dagger}a_{\boldsymbol{-p}}^{\dagger}\right) \\
&= -a_{\boldsymbol{p}}a_{\boldsymbol{-p'}}^{\dagger} + a_{\boldsymbol{-p}}^{\dagger}a_{\boldsymbol{p}'} - a_{\boldsymbol{p}'}a_{\boldsymbol{-p}}^{\dagger} + a_{\boldsymbol{-p'}}^{\dagger}a_{\boldsymbol{p}} \\
&= [a_{\boldsymbol{-p}}^{\dagger}, a_{\boldsymbol{p}'}] - [a_{\boldsymbol{p}}, a_{\boldsymbol{-p'}}^{\dagger}] \\
&= -(2\pi)^3\delta^{(3)}(\boldsymbol{p'}+\boldsymbol{p}) - (2\pi)^3\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}+\boldsymbol{p'}) \\
&= -2(2\pi)^3\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}+\boldsymbol{p'})
\end{aligned}


となり,デルタ関数の公式

\displaystyle{
\delta(x) = \frac{1}{2\pi}\int dk\ e^{ikx}}


も用いて計算すれば,


\begin{align}
[\phi(\boldsymbol{x}), \pi(\boldsymbol{x'})] &= \int\frac{d^3pd^3p'}{(2\pi)^6}\frac{-i}{2}\sqrt{\frac{{\omega}_{\boldsymbol{p'}}}{{\omega}_{\boldsymbol{p}}}}\left([a_{\boldsymbol{-p}}^{\dagger}, a_{\boldsymbol{p}'}] - [a_{\boldsymbol{p}}, a_{\boldsymbol{-p'}}^{\dagger}]\right)e^{i\left(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}+\boldsymbol{p'}\cdot\boldsymbol{x'}\right)} \\
&= \int\frac{d^3pd^3p'}{(2\pi)^6}\frac{-i}{2}\sqrt{\frac{{\omega}_{\boldsymbol{p'}}}{{\omega}_{\boldsymbol{p}}}}(-2)(2\pi)^3\delta^{(3)}(\boldsymbol{p}+\boldsymbol{p'})e^{i\left(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}+\boldsymbol{p'}\cdot\boldsymbol{x'}\right)} \\
&= i\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{i\boldsymbol{p}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x'})} \\
&= i\delta^{(3)}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x'}) \tag{2.30}
\end{align}


これでハミルトニアンを昇降演算子で書く準備ができた.